Formule
Il calcolo analitico, mediante formule ed equazioni, non è l’unico metodo per impostare il progetto di un orologio solare (esiste anche l’approccio geometrico-grafico, con riga e compasso), ma è certamente il procedimento più accurato e, usando un computer ed un programma, anche il più veloce e il più pratico!
Quelle che riportiamo qui sotto sono tutte le formule necessarie al calcolo delle linee orarie di un orologio solare: considerano tutte le incognite richieste ed i casi possibili, permettendo così di calcolare l’elevazione dello stilo, l’angolo sustilare, l’angolo al polo, l’ora sustilare e gli angoli delle linee orarie per gli orologi generici, per quelli orizzontali, per quelli verticali, per quelli polari e per quelli equatoriali.
Formulario gnomonico
| Caso generale | Casi particolari | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Orologio generico |
Orologio orizzontale |
Orologio verticale |
Orologio polare |
Orologio equatoriale |
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| L’elevazione ε dello stilo |
\(\varepsilon =\arcsin \left( \sin i\cdot \sin \varphi -\cos i\cdot \cos \varphi \cdot \cos d \right)\) | \(\varepsilon =\varphi\) | \(\varepsilon =\arcsin \left( -\cos \varphi \cdot \cos d \right)\) | \(\varepsilon =0{}^\circ\) | se \(\left| \varphi \right|\ne 90{}^\circ\) allora \(\varepsilon =-90{}^\circ \cdot \sgn \left( \cos d \right)\) |
se \(\varphi =\pm 90{}^\circ\) allora \(\varepsilon =\varphi\) |
||
 \(-90{}^\circ < \varepsilon < 0{}^\circ < \varepsilon < +90{}^\circ\) |
\(-90{}^\circ < \varepsilon < 0{}^\circ < \varepsilon < +90{}^\circ\) |
\(-90{}^\circ < \varepsilon < 0{}^\circ < \varepsilon < +90{}^\circ\) |
\(\varepsilon =\pm 90{}^\circ\) |
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| L’angolo sustilare σ |
\[\sigma =\arccos \left( \frac{\sin \varphi -\sin i\cdot \sin \varepsilon }{\cos i\cdot \cos \varepsilon } \right)\] e se \(d < 0{}^\circ\) allora \({\sigma }'=-\sigma\) e se \(\varepsilon < 0{}^\circ \) allora \({\sigma }'=\sigma +180{}^\circ\) |
\[\sigma =\arccos \left( \sgn \varphi \right)\] | \[\sigma =\arccos \left( \frac{\sin \varphi }{\cos \varepsilon } \right)\] e se \(d < 0{}^\circ \) e se \(\left| d \right| < 90{}^\circ \) |
se \(i\ne +90{}^\circ \) allora \[\sigma =\arccos \left( \frac{\sin \varphi }{\cos i} \right)\] e se \(d < 0{}^\circ \) |
se \(i=+90{}^\circ \) allora \(\sigma =0{}^\circ \) |
\[\sigma =2\cdot \arcsin \left( \sgn \left( 90{}^\circ -\varphi \right) \right)\] | ||
| \(-180{}^\circ \leqslant \sigma \leqslant +180{}^\circ\) |
\(\sigma =0{}^\circ \left| 180{}^\circ \right.\) |
\(-180{}^\circ \leqslant \sigma \leqslant +180{}^\circ\) |
\(-180{}^\circ \leqslant \sigma \leqslant +180{}^\circ\) |
\(\sigma =0{}^\circ \left| 180{}^\circ \right.\) |
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| L’angolo Pσ al polo |
se \(\left| \varphi \right| \ne 90{}^\circ \) allora \[{{P\,}_{\sigma }}=\arccos \left( \frac{\sin i-\sin \varphi \cdot \sin \varepsilon }{\cos \varphi \cdot \cos \varepsilon } \right)\] e se \(d < 0{}^\circ \) allora \({{{P}'}_{\sigma }}=-{{P\,}_{\sigma }}\) |
se \(\varphi =\pm 90{}^\circ \) allora \({{P\,}_{\sigma }}=0{}^\circ\) |
\[{{P\,}_{\sigma }}=0{}^\circ\] | \[{{P\,}_{\sigma }}=\arccos \left( -\tan \varphi \cdot \tan \varepsilon \right)\] e se \(d < 0{}^\circ\) allora \({{{P}'}_{\sigma }}=-{{P\,}_{\sigma }}\) |
se \(\left| \varphi \right|\ne 90{}^\circ \) allora \[{{P\,}_{\sigma }}=\arccos \left( \frac{\sin i}{\cos \varphi } \right)\] e se \(d < 0{}^\circ \) allora \({{{P}'}_{\sigma }}=-{{P\,}_{\sigma }}\) |
se \(\varphi =\pm 90{}^\circ\) allora \({{P\,}_{\sigma }}=0{}^\circ\) |
\[{{P\,}_{\sigma }}=0{}^\circ\] | |
| \(-180{}^\circ \leqslant {{P\,}_{\sigma }}\leqslant+180{}^\circ\) |
\(-180{}^\circ \leqslant {{P\,}_{\sigma }}\leqslant+180{}^\circ\) |
\(-180{}^\circ \leqslant {{P\,}_{\sigma }}\leqslant+180{}^\circ\) |
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| L’ora sustilare tσ |
\[{{t}_{\sigma }}=\frac{180{}^\circ +{{P\,}_{\sigma }}}{15}\] | \[{{t}_{\sigma }}={{12}^{h}}\] | come l’orologio generico | come l’orologio generico | \[{{t}_{\sigma }}={{12}^{h}}\] | |||
| \({{0}^{h}}\leqslant{{t}_{\sigma }}\leqslant{{24}^{h}}\) |
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| Gli angoli ω delle linee orarie t (Δt=t−tσ) |
se \(\left| {{\Delta}_{t}} \right| \ne {{6}^{h}}\) allora \(\omega =\arctan \left( \sin \varepsilon \cdot \tan {{\Delta }_{t}} \right)\) e se \({{6}^{h}} < \left| {{\Delta }_{t}} \right| \leqslant{{12}^{h}}\) allora \({\omega }'=\omega +180{}^\circ\) |
se \({{\Delta}_{t}}=\pm {{6}^{h}}\) allora \(\omega =90{}^\circ \cdot \sgn \varepsilon \cdot \sgn {{\Delta }_{t}}\) |
come l’orologio generico | come l’orologio generico | \[D=g\cdot \tan {{\Delta }_{t}}\] | \[\omega ={{\Delta }_{t}}\cdot \sgn \varepsilon\] | ||
| \(-90{}^\circ \leqslant \omega \leqslant +270{}^\circ\) |
\(-\infty < D < +\infty\) |
\(-180{}^\circ \leqslant \omega \leqslant +180{}^\circ\) |
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Nota: cliccando col tasto secondario del mouse su una formula, potete accedere a varie funzioni, come zoomare sulle formule stesse o scegliere una resa grafica alternativa (es. SVG) in caso di problemi di visualizzazione ecc.
Le formule così presentate costituiscono la sintesi della teoria su cui si basa il calcolo degli orologi solari, procedure utilizzate dal nostro stesso studio, ArsGnomonica, nei nostri lavori, ed alla base del nostro programma di calcolo, Phoebus.
Per una trattazione assai più ampia ed approfondita di tutte le formule, delle incognite, del loro utilizzo, del loro calcolo, della casistica ecc. vi consigliamo di consultare gli Appunti di gnomonica che abbiamo scritto per voi, se siete interessati al calcolo degli orologi solari, naturalmente!
Qui troverete non solo un capitolo dedicato a ciascuna incognita, ma decine di esempi di calcolo, con tanto di spiegazioni e risultati!
Potete consultare i nostri Appunti di gnomonica in formato PDF cliccando sull’immagine qui accanto.